Question

15．已知集合A={a₁，a₂，a₃，a₄}，B={0，1，2，3}，f是從A到B的映射．
（1）若B中每一元素都有原象，則不同的映射f有多少個(gè)？
（2）若f滿足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=4，則不同的映射f又有多少個(gè)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得從A到B的映射f是一一對(duì)應(yīng)的，由排列數(shù)公式計(jì)算可得答案；
（2 ）根據(jù)題意，分為如下四種情況討論：1、A中每一元素都與1對(duì)應(yīng)，2、A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，一個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另一個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，3、A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)0，4、A中兩個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有一個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，令一個(gè)元素對(duì)應(yīng)3，分別求出每一種情況下的對(duì)應(yīng)方法，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，B中每一元素都有原象，
則從A到B的映射f是一一對(duì)應(yīng)的，
故不同的映射f共有A₄⁴=24個(gè)
（2 ）根據(jù)題意，分為如下四種情況討論：
1、A中每一元素都與1對(duì)應(yīng)，有1種方法；
2、A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，一個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另一個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有C₄²A₂²=12種方法；
3、A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)0，有C₄²=6種方法；
4、A中兩個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有一個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，令一個(gè)元素對(duì)應(yīng)3，有C₄²A₂²=12種方法；
則不同的映射有：1+12+6+12=31個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合的運(yùn)用，涉及映射、像與原像的定義，解題是一方面要結(jié)合排列、組合的公式進(jìn)行分析，其次要結(jié)合映射的．