Question

5．在Rt△ABC中，斜邊BC長為5，另兩直角邊AB，AC滿足AB≥3，AC≤3，則AB+AC的最大值是7．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)B（x，0），C（0，y），則x²+y²=25，5＞x≥3，0＜y≤3．令x=5cosθ，y=5sinθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，且$0＜sinθ≤\frac{3}{5}$．利用單調(diào)性可得$sin（θ+\frac{π}{4}）$≤$sin（arcsin\frac{3}{5}+\frac{π}{4}）$．即可得出x+y=5cosθ+5sinθ=5$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$的最大值．

解答 解：如圖所示，
設(shè)B（x，0），C（0，y），
則x²+y²=25，5＞x≥3，0＜y≤3．
令x=5cosθ，y=5sinθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，且$0＜sinθ≤\frac{3}{5}$．
∴$sin（θ+\frac{π}{4}）$≤$sin（arcsin\frac{3}{5}+\frac{π}{4}）$=$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∴x+y=5cosθ+5sinθ
=5$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$$≤5\sqrt{2}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=7，
故答案為：7．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理、三角函數(shù)的單調(diào)性與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．