Question

14．將函數(shù)f（x）=sin2x-$\sqrt{3}x$（x＞0）的所有極大值點按從小到大順序依次排列，形成數(shù)列{x_n}，θ_n=x₁+x₂+…+x_n，則下列命題正確的是①②④⑤（寫出你認為正確的所有命題的序號）
①函數(shù)f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$x在x=$\frac{π}{12}$處取得極大值；
②tanx${\;}_{n}=2-\sqrt{3}$；
③sinθ_n≤sinθ_n+1對于任意正整數(shù)n恒成立；
④存在正整數(shù)T，使得對于任意正整數(shù)n，都有sinθ_n=sinθ_n+T=0成立；
⑤n取所有的正整數(shù)，sinθ_n的最大值為1．

Answer 1

分析 f′（x）=2cos2x-$\sqrt{3}$，令f′（x）=0，利用單調(diào)性與極值的定義可得：x_n=$\frac{π}{12}$+（n-1）π（n∈N^*）．即可判斷出①②正確；又θ_n=$\frac{nπ}{12}$+$\frac{n（n-1）π}{2}$，sinθ₁＞sinθ₂，即可判斷出③的正誤；由sin（θ_n+12）=-sinθ_n，可知：T=12使得對于任意正整數(shù)n，都有sinθ_n=sinθ_n+T=0成立．即可判斷出④的正誤．由sinθ₁₈=1，可知n取所有的正整數(shù)，sinθ_n的最大值為1．即可判斷出⑤正誤．

解答 解：f′（x）=2cos2x-$\sqrt{3}$，令f′（x）=0，利用單調(diào)性與極值的定義可得：x_n=$\frac{π}{12}$+（n-1）π（n∈N^*）．因此①②正確；
又θ_n=x₁+x₂+…+x_n=$\frac{nπ}{12}$+$\frac{n（n-1）π}{2}$，sinθ₁＞sinθ₂，因此③不正確；
由sin（θ_n+12）=$sin（\frac{（n+12）π}{12}+\frac{（n+12）（n+11）π}{2}）$=-$sin（\frac{nπ}{12}+\frac{n（n-1）π}{2}）$=-sinθ_n，可知：T=12使得對于任意正整數(shù)n，都有sinθ_n=sinθ_n+T=0成立．因此④正確．由sinθ₁₈=1，可知n取所有的正整數(shù)，sinθ_n的最大值為1．因此⑤正確．
故答案為：①②④⑤．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．