Question

12．已知拋物線y²=2x的準線l與x軸的交點為K，點A、B在拋物線上，若$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{KA}$，則AB的斜率為（　�。�

• A． ±$\frac{4}{5}$
• B． ±$\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 求出拋物線的準線方程，可得K的坐標，可設(shè)A（$\frac{{m}^{2}}{2}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{2}$，n），運用向量共線的坐標表示，解方程可得m，n，再由直線的斜率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=2x的準線l為x=-$\frac{1}{2}$，
即有K（-$\frac{1}{2}$，0），
由A，B在拋物線上，可設(shè)A（$\frac{{m}^{2}}{2}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{2}$，n），
由$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{KA}$，可得$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$=3（$\frac{{m}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$），
且n-m=3（m-0），
解得m=$\frac{1}{2}$，n=2或m=-$\frac{1}{2}$，n=-2，
即有直線AB的斜率為k=$\frac{n-m}{\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{{m}^{2}}{2}}$=$\frac{2}{m+n}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}+2}$=$\frac{4}{5}$
或$\frac{2}{-\frac{1}{2}-2}$=-$\frac{4}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查拋物線的方程及運用，考查向量共線的坐標表示，以及直線的斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．