Question

11．已知（1+$\frac{x}{4}$）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ（n∈N^*）．
（1）若a₀+a₁+a₂+…+a_2n=$\frac{625}{256}$，求a₃的值；
（2）求證：a_n＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（n∈N^*）
（3）若存在整數(shù)k （0≤k≤2n），對(duì)任意的整數(shù)m（0≤m≤2n），總有a_k≥a_m成立，這樣的k是否唯一？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）取x=1，求出n，再求a₃的值；
（2）${a_n}=\frac{{C_{2n}^n}}{4^n}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明：$\frac{{C_{2n}^n}}{4^n}＜\frac{1}{{\sqrt{2n+1}}}$；
（3）$\frac{a_k}{{{a_{k-1}}}}=\frac{{C_{2n}^k}}{4^k}•\frac{{{4^{k-1}}}}{{C_{2n}^{k-1}}}=\frac{{\frac{（2n）!}{k!（2n-k）!}}}{{4•\frac{（2n）!}{（k-1）!（2n-k+1）!}}}=\frac{2n-k+1}{4k}$（1≤k≤2n，k∈N^*），設(shè)小于或等于$\frac{2n+1}{5}$的最大整數(shù)為M，則當(dāng)$\frac{2n+1}{5}=M$時(shí)，滿(mǎn)足條件的正整數(shù)k有2個(gè)，即k=M或k=M-1；當(dāng)$\frac{2n+1}{5}＞M$時(shí)，滿(mǎn)足條件的正整數(shù)k只有1個(gè)，即k=M．

解答 解：（1）取x=1，有a₀+a₁+a₂+…+a_2n=（1+$\frac{1}{4}$）²ⁿ=$\frac{625}{256}$，解得n=2，…（2分）
此時(shí)a₃=${C}_{4}^{3}•（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{1}{16}$．                               …（4分）
（2）${a_n}=\frac{{C_{2n}^n}}{4^n}$，下面證明：$\frac{{C_{2n}^n}}{4^n}＜\frac{1}{{\sqrt{2n+1}}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，左=$\frac{1}{2}$，右=$\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，左＜右，命題成立； …（6分）
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，有$\frac{{C}_{2k}^{k}}{{4}^{k}}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$，
則n=k+1時(shí)，$\frac{{C}_{2k+2}^{k+1}}{{4}^{k+1}}$=$\frac{1}{{4}^{k+1}}$•$\frac{（2k+2）!}{（k+1）!（k+1）!}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{（2k+1）（2k+2）}{（k+1）!}$•$\frac{1}{{4}^{k}}$•$\frac{（2k）!}{k!k!}$
＜$\frac{1}{4}$•$\frac{2（2k+1）}{k+1}$•$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$＞$\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$，命題也成立．
由上知，$\frac{{C_{2n}^n}}{4^n}＜\frac{1}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*），即a_n＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（n∈N^*）．…（10分）
（3）由題意知：a_k是a₀，a₁，…，a_2n中的最大項(xiàng)．${a_k}=\frac{{C_{2n}^k}}{4^k}$，${a_{k-1}}=\frac{{C_{2n}^{k-1}}}{{{4^{k-1}}}}$．
所以$\frac{a_k}{{{a_{k-1}}}}=\frac{{C_{2n}^k}}{4^k}•\frac{{{4^{k-1}}}}{{C_{2n}^{k-1}}}=\frac{{\frac{（2n）!}{k!（2n-k）!}}}{{4•\frac{（2n）!}{（k-1）!（2n-k+1）!}}}=\frac{2n-k+1}{4k}$（1≤k≤2n，k∈N^*），（10分）
令$\frac{2n-k+1}{4k}≥1$，得$k≤\frac{2n+1}{5}$，設(shè)小于或等于$\frac{2n+1}{5}$的最大整數(shù)為M，則
當(dāng)1≤k≤M時(shí)，a_k-1≤a_k，故a₀＜a₁＜…＜a_M-1≤a_M（$M=\frac{2n+1}{5}$時(shí)取等號(hào)）；
當(dāng)M＜k≤2n時(shí)，$\frac{2n-k+1}{4k}＜1$，a_k-1＞a_k，故a_M＞a_M+1＞…＞a_2n．…（14分）
所以當(dāng)$\frac{2n+1}{5}=M$時(shí)，滿(mǎn)足條件的正整數(shù)k有2個(gè)，即k=M或k=M-1；
當(dāng)$\frac{2n+1}{5}＞M$時(shí)，滿(mǎn)足條件的正整數(shù)k只有1個(gè)，即k=M．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．