Question

19．已知b²+c²=a²+bc．
（1）求角A的大小；
（2）如果cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意和余弦定理求出cosA的值，由A的范圍和特殊角的余弦值求出A；
（2）由題意和平方關(guān)系求出sinB的值，由正弦定理求出a的值，代入b²+c²=a²+bc化簡(jiǎn)求出c，代入三角形的面積公式求值即可．

解答 解：（1）因?yàn)閎²+c²=a²+bc，
所以由余弦定理得，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，…（3分）
又0＜A＜π，則A=$\frac{π}{3}$…（5分）
（2）因?yàn)?＜A＜π，且cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…（6分）
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，則a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3…（7分）
因?yàn)閎²+c²=a²+bc，所以c²-2c-5=0…（8分）
解得c=$1±\sqrt{6}$，因?yàn)閏＞0，所以c=$1+\sqrt{6}$…（10分）
所以△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×（1+\sqrt{6}）×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦、余弦定理，平方關(guān)系，以及三角形的面積公式，注意內(nèi)角的范圍，屬于中檔題．