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20．已知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如下：設(shè)x1，x2是關(guān)于x方程x2+bx+c=0的根，則x1+x2=-b，x1•x2=c．
（Ⅰ）若x1，x2，x3是一元三次方程（x-1）（x2-3x-4）=0的根，求x1+x2+x3和x1•x2•x3的值；
（Ⅱ）若x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根，類比一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，猜想x1+x2+x3和x1•x2•x3與系數(shù)的關(guān)系，并加以證明．

分析 （Ⅰ）求出方程（x-1）（x2-3x-4）=0的根分別為-1，1和4，即可求x1+x2+x3和x1•x2•x3的值；
（Ⅱ）利用x3+bx2+cx+d=（x-x1）（x-x2）（x-x3），（x-x1）（x-x2）（x-x3）展開式中二次項(xiàng)為-（x1+x2+x3）x2，常數(shù)項(xiàng)為-x1•x2•x3，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵方程x2-3x-4=0的兩個根分別為-1和4，…（2分）
∴方程（x-1）（x2-3x-4）=0的根分別為-1，1和4，…（3分）
∴x1+x2+x3=4，x1•x2•x3=-4．           …（5分）
（Ⅱ）x1+x2+x3=-b，x1•x2•x3=-d．    …（7分）
證明：∵x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根，
∴x3+bx2+cx+d=（x-x1）（x-x2）（x-x3），…（9分）
又∵（x-x1）（x-x2）（x-x3）展開式中二次項(xiàng)為-（x1+x2+x3）x2，…（10分）
常數(shù)項(xiàng)為-x1•x2•x3，…（11分）
∴x1+x2+x3=-b，x1•x2•x3=-d．      …（12分）

點(diǎn)評 本題考查類比推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定x-x1）（x-x2）（x-x3）展開式中二次項(xiàng)為-（x1+x2+x3）x2，常數(shù)項(xiàng)為-x1•x2•x3，是關(guān)鍵．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+a|（a＞0）
（1）當(dāng)a=3時，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知BC=CC1=AB，AB⊥BC，點(diǎn)M，N，G分別是CC1，B1C，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：B1C⊥平面ABN；
（2）求證：CG∥平面AB1M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．若三角形內(nèi)切圓半徑為r，三邊長為a，b，c，則三角形的面積S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，利用類比思想：若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個面的面積為S1，S2，S3，S4，則四面體的體積V=$\frac{1}{3}$R（S1+S2+S3+S4）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．已知函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，g（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$-…-$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x+4）•g（x-3），且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a，b∈Z，a＜b）內(nèi)，則b-a的最小值為10．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．等差數(shù)列{an}中，a5=3，a17=2a8
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}（n∈{N^*}）$，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知$\overrightarrow m=（2cosx+2\sqrt{3}sinx，1），\overrightarrow n=（cosx，-y）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$；
（1）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊長，若$f（\frac{A}{2}）=3$，且，a=2，b=c，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，在已知它們點(diǎn)數(shù)不同的條件下，至少有一枚是6點(diǎn)的概率是$\frac{1}{3}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．函數(shù)y=2sinx（sinx+cosx）的最大值為$\sqrt{2}$+1．

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同步練習(xí)冊答案