Question

17．若正六棱錐內(nèi)接于半徑為3的球，則當(dāng)正六棱錐的體積最大時(shí)，它的底面邊長為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先設(shè)正六棱錐的底面邊長等于a，底面到球心的距離等于x，得到x與a，R之間的關(guān)系，又正六棱錐的高為h=R+x，從而得出正六棱錐體積關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，最后利用基本不等式求出這個(gè)正六棱錐體積的最大值即可．

解答 解：設(shè)正六棱錐的底面邊長等于a，底面到球心的距離等于x，
則：x²+a²=9，
而正四棱錐的高為h=3+x，
故正四棱錐體積為：
V（x）=$\frac{1}{3}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（9-x²）（3+x）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-2x）（3+x）（3+x）
≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{6-2x+3+x+3+x}{3}$）³=$\frac{125}{4}\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，
那么正六棱錐的底面邊長為2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了球內(nèi)接多面體、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等基本知識(shí)，考查了空間想象力，屬于中檔題．