Question

13．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點（0，-2），且離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，ABD是橢圓E的頂點，M是橢圓E上除頂點外的任意一點，直線DM交x軸于點Q，直線AD交BM于點P，設(shè)BM的斜率為k，PQ的斜率為m，求動點N（m，k）軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得b和$\frac{c}{a}$，結(jié)合隱含條件a²=b²+c²求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由題意求出A，B，D的坐標(biāo)，得到直線AD的方程，再設(shè)出直線BP方程，聯(lián)立兩直線方程求得P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線BP的方程與橢圓方程求得M的坐標(biāo)，再由M，D，Q三點共線求得Q的坐標(biāo)，代入兩點求斜率公式得到直線PQ的斜率，整理后即可得到關(guān)于k，m的等式，則可求得點N（m，k）的軌跡方程．

解答 解：（1）依題意，b=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，又a²=b²+c²，
∴5a²=9c²=9（a²-b²）=9a²-36，即a²=9．
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由（1）知，A（-3，0），B（3，0），D（0，2），
∴直線AD的方程為y=$\frac{2}{3}$x+2，
由題意，直線BP的方程為y=k（x-3），k≠0且k$≠±\frac{2}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+2}\\{y=k（x-3）}\end{array}\right.$，解得P（$\frac{9k+6}{3k-2}$，$\frac{12k}{3k-2}$），
設(shè)M（x₁，y₁），則由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
消去y整理得（9k²+4）x²-54k²x+81k²-36=0．
∴3x₁=$\frac{81{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，即x₁=$\frac{27{k}^{2}-12}{4+9{k}^{2}}$，
即M（$\frac{27{k}^{2}-12}{4+9{k}^{2}}$，-$\frac{24k}{4+9{k}^{2}}$），
設(shè)Q（x₂，0），則由M，D，Q三點共線得：k_DM=k_DQ，
即$\frac{\frac{-24k}{4+9{k}^{2}}-2}{\frac{27{k}^{2}-12}{4+9{k}^{2}}}$=$\frac{-2}{{x}_{2}}$，∴x₂=$\frac{9k-6}{3k+2}$，則Q（$\frac{9k-6}{3k+2}$，0），
∴PQ的斜率m=$\frac{\frac{12k}{3k-2}-0}{\frac{9k+6}{3k-2}-\frac{9k-6}{3k+2}}$=$\frac{3k+2}{6}$．
∴3k+2=6m，即點N（m，k）的軌跡方程為6x-3y-2=0．

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了直線和圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，（2）的求解著重體現(xiàn)了“設(shè)而不求”和整體運算思想方法，屬中檔題．