Question

11．已知f（x）=lnx+（x-a）²
（1）若a＞0，且f（x）存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）在（1）條件下，求證：f（x）的所有極值一和大于ln$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，可得2a=$\frac{1}{x}$+2x在（0，+∞）上有解，求出a的范圍，再驗(yàn)證即可得出結(jié)論；
（2）2x²-2ax+1=0的兩個(gè)根為x=$\frac{1}{2}$（a±$\sqrt{{a}^{2}-2}$），求出極值．即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：∵f（x）=lnx+（x-a）²，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）=0，即2a=$\frac{1}{x}$+2x在（0，+∞）上有解，
∴2a≥2$\sqrt{2}$，
∴a≥$\sqrt{2}$，
a=$\sqrt{2}$時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)無極值，
∴a＞$\sqrt{2}$；
（2）證明：f′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）=0，即2x²-2ax+1=0的兩個(gè)根為x=$\frac{1}{2}$（a±$\sqrt{{a}^{2}-2}$），
∴f（x）的所有極值和=ln$\frac{1}{2}$（a+$\sqrt{{a}^{2}-2}$）+[$\frac{1}{2}$（-a+$\sqrt{{a}^{2}-2}$）]²-2+ln$\frac{1}{2}$（a-$\sqrt{{a}^{2}-2}$）+[$\frac{1}{2}$（-a-$\sqrt{{a}^{2}-2}$）]²=ln$\frac{1}{2}$+a²-1＞1-ln2=ln$\frac{e}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．