Question

9．已知橢圓4x²+5y²=20的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|

Answer 1

分析 化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出a²，b²的值，進(jìn)一步求得c，則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)可求，由直線的傾斜角求出斜率，得到直線的點(diǎn)斜式方程，和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|AB|．

解答 解：由4x²+5y²=20，得$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴a²=5，b²=4，則c²=a²-b²=1，
∴c=1．
不妨設(shè)F（1，0），又k_l=tan45°=1，
∴l(xiāng)：y=x-1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{4{x}^{2}+5{y}^{2}=20}\end{array}\right.$，得9x²-10x-15=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10}{9}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{15}{9}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{10}{9}）^{2}+\frac{60}{9}}=\frac{16\sqrt{5}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，是中檔題．