Question

17．計算：
（1）${C}_{3n}^{38-n}$+${C}_{n+21}^{3n}$的值；
（2）A${\;}_{1}^{1}$+2${A}_{2}^{2}$+3${A}_{3}^{3}$+…+n${A}_{n}^{n}$．

Answer 1

分析 （1）先求出n的值，再計算組合數(shù)的值；
（2）根據(jù)nA_nⁿ=A_n+1ⁿ⁺¹-A_nⁿ，化簡算式即可．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{0≤38-n≤3n}\\{0≤3n≤n+21}\\{n{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，
解得n=10，
∴${C}_{3n}^{38-n}$+${C}_{n+21}^{3n}$=${C}_{30}^{28}$+${C}_{31}^{30}$
=${C}_{30}^{2}$+${C}_{31}^{1}$
=435+30
=465；
（2）A₁¹+2A₂²+3A₃³+…+nA_nⁿ
=（A₂²-A₁¹）+（A₃³-A₂²）+…+（A_n+1ⁿ⁺¹-A_nⁿ）
=A_n+1ⁿ⁺¹-A₁¹
=（n+1）!-1．

點評 本題考查了排列與組合數(shù)的應用問題，也考查了邏輯推理能力與計算能力的應用問題，是基礎題目．