Question

13．設(shè)f（x）=|lg$\sqrt{x}$|+|lg2$\sqrt{x}$|．
（1）若f（x）=lg g（x），求g（x）并作圖；
（2）求f（x）的最小值；
（3）求方程f（x）=$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）分類討論得出當(dāng)0＜x≤$\frac{1}{4}$時，f（x）=-lg$\sqrt{x}$-lg2$\sqrt{x}$=-lg2x，當(dāng)$\frac{1}{4}$＜x≤1時，f（x）=-lg$\sqrt{x}$+lg2$\sqrt{x}$=lg2，運(yùn)用分段函數(shù)寫出即可；
（2）根據(jù)g（x）的圖象判斷得出g（x）的最小值為2，利用復(fù)合函數(shù)求解f（x）=lgg（x）的最小值為lg2；
（3）分段求解即可當(dāng)0$＜x≤\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2x}$=$\sqrt{10}$，x=$\frac{\sqrt{10}}{20}$，當(dāng)x≥1時，2x=$\sqrt{10}$，x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$

解答 解：（1）∵f（x）=|lg$\sqrt{x}$|+|lg2$\sqrt{x}$|．
∴當(dāng)0＜x≤$\frac{1}{4}$時，f（x）=-lg$\sqrt{x}$-lg2$\sqrt{x}$=-lg2x，
當(dāng)$\frac{1}{4}$＜x≤1時，f（x）=-lg$\sqrt{x}$+lg2$\sqrt{x}$=lg2，
當(dāng)x＞1時，f（x）=lg$\sqrt{x}$+lg2$\sqrt{x}$=lg2x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lg2x，0＜x≤\frac{1}{4}}\\{lg2，\frac{1}{4}＜x＜1}\\{lg2x，x≥1}\end{array}\right.$
即g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2x}，0＜x≤\frac{1}{4}}\\{2，\frac{1}{4}＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$

（2）g（x）的最小值為2，故f（x）=lgg（x）的最小值為lg2；
（3）方程f（x）=$\frac{1}{2}$即g（x）=$\sqrt{10}$，
∵當(dāng)0$＜x≤\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2x}$=$\sqrt{10}$，x=$\frac{\sqrt{10}}{20}$，
當(dāng)x≥1時，2x=$\sqrt{10}$，x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
∴方程f（x）=$\frac{1}{2}$的解集{$\frac{\sqrt{10}}{20}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$}

點評 本題考查了分類討論，數(shù)形結(jié)合的思想，對數(shù)的性質(zhì)，化簡計算能力，屬于綜合題目，但是難度不大．