Question

10．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為邊長為a的菱形，∠BAD=60°，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、H分別為BC、AD的中點，F(xiàn)在PC邊上，且PF=2FC．
（1）求證：PH⊥底面ABCD；
（2）求證：PA∥平面DEF；
（3）求三棱錐C-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）證明PH⊥AD，利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理，可得：PH⊥底面ABCD；
（2）連接AC，交DE于O，連接OF，證明PA∥OF，即可證明：PA∥平面DEF；
（3）利用三棱錐的體積公式，求三棱錐C-DEF的體積．

解答 （1）證明：∵△PAD為正三角形，H為AD的中點，
∴PH⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PH⊥底面ABCD；
（2）證明：連接AC，交DE于O，連接OF，則
∵E為BC的中點，
∴AO=2OC，
∵PF=2FC，
∴PA∥OF，
∵PA?平面DEF，OF?平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（3）解：三棱錐C-DEF的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×\frac{a}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{{a}^{3}}{48}$．

點評 本題考查直線和平面平行、直線和平面垂直的證明方法和三棱錐C-DEF的體積，考查學生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．