Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求斜率為2的弦中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設出弦的中點M，端點A，B的坐標，通過三點坐標的關系，把A，B的坐標代入橢圓方程后作差，代入直線l的斜率整理后即可得到答案；

解答 解：設斜率為2的弦中點M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵M為弦AB的中點，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1$，①
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1$，②
②-①得，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$×$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$．
∴$-\frac{x}{2y}=2$，整理得：x+4y=0．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\\ x+4y=0\end{array}\right.$，解得x=$±\frac{8}{3}$
所求軌跡方程為：x+y=0．（-$\frac{8}{3}$＜x＜$\frac{8}{3}$）
∴點P的軌跡方程為：x+4y=0（-$\frac{8}{3}$＜x＜$\frac{8}{3}$）；

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了“點差法”，涉及中點弦問題．利用點差法能起到事半功倍的作用，該題是中檔題．