Question

16．如果有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m為正整數(shù)）滿足條件a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我們稱其為“對稱數(shù)列”． 例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對稱數(shù)列”． 設(shè){d_n}是100項的“對稱數(shù)列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首項為2，公差為3的等差數(shù)列．則d₂=146；數(shù)列{d_n}的前n項和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{301}{2}n，}&{1≤n≤50}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{299}{2}n+7500，}&{51≤n≤100}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通過d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首項為2、公差為3的等差數(shù)列可求該數(shù)列d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀的通項，利用對稱數(shù)列的特點、結(jié)合等差數(shù)列的特點，即可求數(shù)列的和．

解答 解：∵d₅₁=2，d₁₀₀=2+3×（50-1）=149，
∴d₁，d₂，d₅₀是首項為149，公差為-3的等差數(shù)列，
∴d₂=d₁-3=149-3=146，
當(dāng)n≤50時，S_n=d₁+d₂+…+d_n
=149n-3•$\frac{n（n-1）}{2}$
=-$\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{301}{2}n$；
當(dāng)51≤n≤100時，S_n=d₁+d₂+…+d_n
=S₅₀+（d₅₁+d₅₂+…+d_n）
=3775+2•（n-50）+3•$\frac{（n-50）（n-51）}{2}$
=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{299}{2}n$+7500；
綜上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{301}{2}n，}&{1≤n≤50}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{299}{2}n+7500，}&{51≤n≤100}\end{array}\right.$，
故答案為：146，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{301}{2}n，}&{1≤n≤50}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{299}{2}n+7500，}&{51≤n≤100}\end{array}\right.$．

點評 本題以新定義對稱數(shù)列為切入點，運用的知識都是數(shù)列的基本知識：等差數(shù)列的通項及求和公式，等比數(shù)列的通項及求和公式，體現(xiàn)了分類討論在解題中的應(yīng)用．注意解題方法的積累，屬于中檔題．