Question

8．已知拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則|OA|²+|OB|²（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 先討論直線(xiàn)l的斜率不存在的情況，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x-1），與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂，x₁x₂，然后把|OA|²+|OB|²表示為關(guān)于k的函數(shù)，利用函數(shù)求最小值．

解答 解：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在，即直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，方程為：x=1，
則A（1，2），B（1，-2）．
|OA|²+|OB|²=5+5=10．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
|OA|²+|OB|²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=${{x}_{1}}^{2}+4{x}_{1}+{{x}_{2}}^{2}+4{x}_{2}$
${{（x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+4{（x}_{1}+{x}_{2}）$=$（\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}）^{2}-2+4（\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}）$
設(shè)${\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}=t}^{\;}$，則t＞2
|OA|²+|OB|²=t²+4t-2=（t+2）²-6 （t＞2）
所以|OA|²+|OB|²＞10．
綜上可知：|OA|²+|OB|²的最小值為10．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線(xiàn)的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識(shí)．在解題過(guò)程中思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，要考慮直線(xiàn)的斜率不存在的情況．