Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R）．給出下列命題：
①f（x）是偶函數(shù)；
②當(dāng)f（0）=f（2）時，f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③若a²-b≤0，則f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)；
④f（x）有最小值|a²-b|；
⑤若方程f（x）=3恰有3個不相等的實數(shù)根，則a²=b+3．
其中正確命題的序號是③⑤．（把你認(rèn)為正確的都寫上）

Answer 1

分析 分別討論參數(shù)a，b的取值情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
①利用奇偶性的定義可以判斷，當(dāng)a≠0時，f（x）必非奇非偶函數(shù)．
②由f（0）=f（2）得到a，b的關(guān)系，然后根據(jù)a，b的關(guān)系通過配方得到對稱軸．
③當(dāng)a²-b≤0時，此時x²-2ax+b=（x-a）²+b-a²≥0，此時可以去掉絕對值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷．
由④可以知道當(dāng)a²-b≤0時，二次函數(shù)開口向上有最小值．
⑤若方程f（x）=3恰有3個不相等的實數(shù)根，則$\frac{4b-4{a}^{2}}{4}$=3，即可得出結(jié)論．

解答 解：①當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)a≠0時，f（x）必非奇非偶函數(shù)，所以錯誤．
②若f（0）=f（2），則|b|=|4-4a+b|，所以4-4a+b=b或4-4a+b=-b，即a=1或b=2a-2．當(dāng)a=1時，f（x）的對稱軸為x=1．當(dāng)b=2a-2時，f（x）=|x²-2ax+2a-2|=|（x-a）²-2-a²|，此時對稱軸為x=a，所以錯誤．
③若a²-b≤0，則f（x）=|x²-2ax+b|=|（x-a）²+b-a²|=（x-a）²+b-a²，所以此時函數(shù)區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)，所以正確．
④由③知，當(dāng)a²-b≤0，函數(shù)f（x）有最小值|a²-b|=a²-b，所以錯誤．
⑤若方程f（x）=3恰有3個不相等的實數(shù)根，則$\frac{4b-4{a}^{2}}{4}$=3，∴a²=b+3，正確．
故答案為：③⑤

點評 本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的綜合應(yīng)用．