Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=30°，PD⊥平面ABCD，AD=2，點E為AB上一點，且$\frac{AE}{AB}$=m，點F為PD中點．
（Ⅰ）若m=$\frac{1}{2}$，證明：直線AF∥平面PEC；
（Ⅱ）是否存在一個常數(shù)m，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作FM∥CD，交PC于M，推導(dǎo)出四邊形AEMF為平行四邊形，由此能證明直線AF∥平面PEC．
（Ⅱ）要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，求出AE=ADcos30°=$\sqrt{3}$，推導(dǎo)出平面PDE⊥平面PAB，由此能求出存在一個常數(shù)m=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．使得平面PED⊥平面PAB．

解答 證明：（Ⅰ）作FM∥CD，交PC于M，
∵點M為PD的中點，∴FM=$\frac{1}{2}$CD，
∵m=$\frac{1}{2}$，∴AE=$\frac{1}{2}AB$=FM，
又FM∥CD∥AE，
∴四邊形AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM，
∴四邊形AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直線AF∥平面PEC．
解：（Ⅱ）存在一個常數(shù)m，使得平面PED⊥平面PAB，
要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，
此時AB=AD=2，∠DAB=30°，
∴AE=ADcos30°=$\sqrt{3}$，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥平面PDE，
∵AB?平面PAB，∴平面PDE⊥平面PAB，
∴m=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查使得面面垂直的兩線段比值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．