Question

7．若直線l：ax-by=1與不等式組$\left\{\begin{array}{l}y＜1\\ 3x-y-2＜0\\ 3x+y+2＞0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域無(wú)公共點(diǎn)，則3a-2b的最小值為（　�。�

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $-\frac{11}{2}$
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線ax-by=1與平面區(qū)域無(wú)公共點(diǎn)建立條件關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}y＜1\\ 3x-y-2＜0\\ 3x+y+2＞0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域是由A（-1，1），B（1，1），C（0，-2）圍成的三角形區(qū)域（不包含邊界）．
若直線l：ax-by=1與不等式組$\left\{\begin{array}{l}y＜1\\ 3x-y-2＜0\\ 3x+y+2＞0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域無(wú)公共點(diǎn)，
則A，B，C三點(diǎn)在直線l的同側(cè)或在直線上，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}-a-b≥1\\ a-b≥1\\ 2b≥1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-a-b≤1\\ a-b≤1\\ 2b≤1\end{array}\right.$．
則（a，b）在如圖所示的三角形區(qū)域．
設(shè)z=3a-2b，得b=$\frac{3}{2}$a-$\frac{z}{2}$，
平移直線b=$\frac{3}{2}$a-$\frac{z}{2}$，
得到直線在A處的截距最大，此時(shí)z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}2b=1\\-a-b=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
此時(shí)z=3×（-$\frac{3}{2}$）-2×$\frac{1}{2}$=-$\frac{11}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．