Question

15．已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3，a∈R，
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對任意的t∈[1，2]，函數(shù)$g（x）={x^3}+{x^2}[{f'（x）+\frac{m}{2}}]$在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值即可．
（ II）利用函數(shù)的導數(shù)，當a＞0時，當a=0時，當a＜0時，求解函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間．
（ III）利用已知條件化簡函數(shù)g（x），求出函數(shù)的導數(shù)，通過g′（x）=0有一正一負的兩個實數(shù)根．利用根的分別列出不等式組求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，$f（x）=lnx-x-3，f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
∴f′（x）＜0⇒x＞1，f′（x）＞0⇒0＜x＜1
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
所以f（x）有極大值，極大值為f（1）=-4，無極小值． （4分）
（ II）∵$x＞0，f'（x）=\frac{a}{x}-a=\frac{a（1-x）}{x}$，
∴當a＞0時，f（x）在（0，1）↑，在（1，+∞）↓
當a=0時，f（x）=-3，無單調(diào)區(qū)間，
當a＜0時，f（x）在（0，1）↓，在（1，+∞）↑（8分）
（ III）∵f′（2）═1，∴$\frac{a}{2}-a=1∴a=-2∴f（x）=-2lnx+2x-3$
g（x）=x³+x²（-$\frac{2}{x}+2+\frac{m}{2}$）=x³+（$\frac{m}{2}+2$）x²-2x
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
令g′（x）=0，
∴3x²+（m+2）x-2=0，△=（m+2）²+24＞0
${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{3}＜0$，∴g′（x）=0有一正一負的兩個實數(shù)根．
又t∈[1，2]，x∈（t，3）∵g（x）在（t，3）不單調(diào)，
∴g′（x）=0在（t，3）上只有一個正實根
∴$\left\{\begin{array}{l}g'（t）＜0\\ g'（3）＞0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}3{t^2}+（m+4）t-2＜0\\ 27+（m+4）×3-2＞0\end{array}\right.⇒$$\left\{\begin{array}{l}（m+4）t＞2-3{t^2}\\ m＞-\frac{37}{3}\end{array}\right.$，
因為t∈[1，2]恒成立$\left\{\begin{array}{l}m+4＜\frac{2}{t}-3t\\ m＞-\frac{37}{3}\end{array}\right.$，
令$h（t）=\frac{2}{t}-3t$，可證$h（t）=\frac{2}{t}-3t在t∈[1，2]↓∴h{（t）_{min}}=h（2）=-5$
$\left\{\begin{array}{l}m+4＜-5\\ m＞-\frac{37}{3}\end{array}\right.$⇒$-\frac{37}{3}＜m＜-9$．（14分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，根的分別，考查分析問題解決問題的能力．