Question

9．已知直線l：x-y+1=0與拋物線C：x²=4y交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線l下方，則△PAB的面積的最大值為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求出|AB|，再計(jì)算拋物線上點(diǎn)且在直線l下方，到直線的最大距離，即可求出△PAB的面積的最大值．

解答 解：直線l：x-y+1=0與拋物線C：x²=4y聯(lián)立，可得A（2-2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$），B（2+2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{2}$•|2+2$\sqrt{2}$-2+2$\sqrt{2}$|=8．
平行于直線l：x-y+1=0的直線設(shè)為x-y+c=0，與拋物線C：x²=4y聯(lián)立，可得x²-4x-4c=0，
∴△=16+16c=0，∴c=-1，
兩條平行線間的距離為$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴△PAB的面積的最大值為$\frac{1}{2}×8×\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查△PAB的面積的最大值，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，求出拋物線上點(diǎn)且在直線l下方，到直線的最大距離是關(guān)鍵．