Question

4．已知O為△ABC的外心，BC=2，∠A=45°，∠B為銳角，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范圍是（-2，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由條件根據(jù)三角形的外心的定義和向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合正弦定理和三角函數(shù)的化簡，從而得到范圍．

解答 解：根據(jù)已知O為△ABC的外心，可得OA=OB=OC=R，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）
=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=R²（cos∠AOC-cos∠AOB）
=-2R²sin$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠AOB）sin$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠AOB）
=-2R²sin（B+C）sin（B-C）
由正弦定理可得2R=$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$，B+C=135°，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=-4•$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2B-135°），
由B為銳角，可得sin（2B-135°）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$的范圍是（-2，2$\sqrt{2}$]．
故答案為：（-2，2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查三角形的外心的定義和性質(zhì)，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．