Question

7．函數(shù)f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a有三個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）由（1）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，可知函數(shù)圖象的變化情況，可知方程f（x）=a有3個不同實根，求得實數(shù)a的值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6=3（x²-2），
令f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
∴函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是$（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，遞增區(qū)間是$（-∞，-\sqrt{2}）$與$（\sqrt{2}，+∞）$；
當$x=-\sqrt{2}$時，有極大值$5+4\sqrt{2}$，當$x=\sqrt{2}$時，有極小值$5-4\sqrt{2}$；
（2）由（1）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，
∴當5-4$\sqrt{2}$＜a＜5+4$\sqrt{2}$時，
直線y=a與y=f（x）的圖象有3個不同交點，
即方程f（x）=a有三解，
∴$5-4\sqrt{2}＜a＜5+4\sqrt{2}$．

點評 考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖象，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導數(shù)與方程的綜合題，需要對參數(shù)進行分類討論．屬中檔題．