Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-ax+1（a∈R）．
（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值，求a的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件“f（x）在x=1處取得極值”可得f′（1）=0，解方程即可；
（2）先求導(dǎo)數(shù)f′（x），然后討論a的值，判斷f′（x）的正負(fù)，進(jìn)而得到f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，即可得到f（x）在[0，1]上的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=x²-a，
因?yàn)閒（x）在x=1處取得極值，所以f′（1）=0，解得a=1；
（2）f′（x）=x²-a，
①當(dāng)-a≥0，即a≤0時(shí)，f′（x）=x²≥0，
則f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
所以f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
故f（x）在[0，1]上的最小值為f（0）=1；
②當(dāng)-a＜0，即a＞0時(shí)，
由f′（x）=x²-a＞0，得x＜-$\sqrt{a}$或x＞$\sqrt{a}$，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{a}$）和（$\sqrt{a}$，+∞）；
由f′（x）=x²-a＜0得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）；
所以當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）的最小值為f（1）=$\frac{4}{3}$-a；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[0，$\sqrt{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{a}$，1]上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{a}$）³-a$\sqrt{a}$+1=1-$\frac{2}{3}$a$\sqrt{a}$；
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的最小值為f（0）=1；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的最小值為f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{a}$）³-a$\sqrt{a}$+1=1-$\frac{2}{3}$a$\sqrt{a}$；
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）的最小值為f（1）=$\frac{4}{3}$-a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．