Question

2．已知函數(shù)f（x）滿足x，y∈R時(shí)，f（xy）=f（x）•f（y）恒成立．且當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞1．若f（x）≠0．證明：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 令y=x，先判斷當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 證明：當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，令y=x，則f（x²）=f（x）•f（x）=f²（x），
∵f（x）≠0，
∴f（x²）=f²（x）＞0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
設(shè)0＜x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞1，
則$\frac{f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）}$=$\frac{f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}•{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）}$=$\frac{f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）•f（{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）}$=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞1，
即f（x₂）＞f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．