Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=（x+1）（x-2）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[-3，2]上的最小值時(shí)$\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）在R上的極大值．

Answer 1

分析 （1）由f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，列表能求出函數(shù)f（x）在R上的極大值．

解答 解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x-2）（x+1），
由f′（x）=（x-2）（x+1）≥0，
知f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上是增函數(shù)，
由f′（x）=（x-2）（x+1）≤0，
知f（x）在[-1，2]上為減函數(shù)．
（2）由f′（x）=3ax²+2bx+c=x²-x-2得：3a=1，2b=-1，c=-2，
∴a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$，c=-2，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+d，
由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，可列表

x	[-3，-1）	-1	（-1，2]
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

f（x）在[-3，2]上的最小值產(chǎn)生于f（-3）和f（2），
由f（-3）=-$\frac{15}{2}$+d，f（2）=-$\frac{10}{3}$+d，知f（-3）＜f（2），
于是f（-3）=-$\frac{15}{2}$+d=$\frac{1}{2}$，則d=8，
∴f（x）_極大值=f（-1）=$\frac{7}{6}$+8=$\frac{55}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，綜合性強(qiáng)，難度稍大，計(jì)算繁瑣，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．