Question

2．已知遞增數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{1}{4}$a_n²+n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=$\frac{1}{n+{S}_{n}}$，其前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n$＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用遞推關(guān)系式證出數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）所求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，再用放縮法求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）已知遞增數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{1}{4}$a_n²+n，①
則：${S}_{n-1}=\frac{1}{4}{{a}_{n-1}}^{2}+n-1$②
所以：①-②得：${a}_{n}=\frac{1}{4}{{（a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}）+1$
整理得：${{a}_{n}}^{2}-4{a}_{n}+4={{a}_{n-1}}^{2}$，
所以：${（a}_{n}-2）^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=0$，
（a_n-2+a_n-1）（a_n-2-a_n-1）=0，
由于當(dāng)n=1時(shí)，解得：a₁=2，
所以：a_n-a_n-1=2（常數(shù)），
所以：數(shù)列{a_n}為以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
則：a_n=2+2（n-1）=2n，
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a_n=2n，
則：${S}_{n}=\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）$，
由于：$_{n}=\frac{1}{n+{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
所以：T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$$＜\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，放縮法的應(yīng)用．