Question

11．如圖，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三棱錐A-CDE的體積；
（Ⅲ）線段EF上是否存在一點(diǎn)M，使得BM⊥CE？若存在，確定M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接CN，可得四邊形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，可得AC⊥CB，利用AF⊥平面ABCD，AF∥BE，可得BE⊥平面ABCD，即可證明．
（II）利用V_{三棱錐A-CDE}=V_{三棱錐E-ACD}=$\frac{1}{3}BE•{S}_{ACD}$即可得出．
（III）線段EF上存在一點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，使得BM⊥CE．連接MN，BM，EN，則四邊形BEMN為正方形，可得BM⊥EN，利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得：
CN⊥平面ABEF，可得CN⊥BM，又BM⊥CE．即可證明BM⊥平面CEN．

解答 （I）證明：如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接CN，
則四邊形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，
∴AC⊥CB，
∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥AC，
又BE∩BC=B，
∴AC⊥平面BCE．
（II）解：V_{三棱錐A-CDE}=V_{三棱錐E-ACD}=$\frac{1}{3}BE•{S}_{ACD}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×{2}^{2}$=$\frac{4}{3}$．
（III）解：線段EF上存在一點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，使得BM⊥CE．
連接MN，BM，EN，則四邊形BEMN為正方形，
∴BM⊥EN，
∵CN⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴CN⊥平面ABEF，
∴CN⊥BM，
又CN∩EN=N，
∴BM⊥平面CEN，
∴BM⊥CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、正方形的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．