Question

17．已知{a_n}是等差數(shù)列，點（a_n，b_n）在函數(shù)f（x）=2^x的圖象上（n∈N^*），且a₁=0，函數(shù)f（x）的圖象在點（a₂，b₂）處切線的橫截距為1-$\frac{1}{ln2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，c_n+1=（-1）ⁿ⁺¹c_n+S_n，c₁=2，求數(shù)列{c_n}的前40項的和．

Answer 1

分析 （1）通過對f（x）=2^x求導可知f'（x）=2^xln2，進而可知切線方程為y-b₂=（${2}^{{a}_{2}}$ln2）（x-a₂），通過解方程a₂-$\frac{_{2}}{{2}^{{a}_{2}}ln2}$=1-$\frac{1}{ln2}$可知a₂=1，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知S_n=2ⁿ-1，從c_n+1=（-1）ⁿ⁺¹c_n+S_n，進而C_4n+1=C_4n+1、C_4n+2=C_4n+1+S_4n+1、C_4n+3=-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2、C_4n+4=-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2+S_4n+3，計算可知d_n=C_4n+1+C_4n+2+C_4n+3+C_4n+4=-2+14•2⁴ⁿ，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）由f（x）=2^x得f'（x）=2^xln2，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點（a₂，b₂）處的切線斜率k=f′（a₂）=${2}^{{a}_{2}}$ln2，
從而切線方程為y-b₂=（${2}^{{a}_{2}}$ln2）（x-a₂），
∴切線在x軸上的截距為a₂-$\frac{_{2}}{{2}^{{a}_{2}}ln2}$，
從而a₂-$\frac{_{2}}{{2}^{{a}_{2}}ln2}$=a₂-$\frac{_{2}}{_{2}ln2}$=a₂-$\frac{1}{ln2}$=1-$\frac{1}{ln2}$，
∴a₂=1，
∴公差d=a₂-a₁=1-0=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=n-1；
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2^n-1；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴c_n+1=（-1）ⁿ⁺¹c_n+S_n=（-1）ⁿ⁺¹c_n+2ⁿ-1，
∴C_4n+1=C_4n+1，
C_4n+2=C_4n+1+S_4n+1，
C_4n+3=-C_4n+2+S_4n+2=-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2，
C_4n+4=C_4n+3+S_4n+3=-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2+S_4n+3，
令d_n=C_4n+1+C_4n+2+C_4n+3+C_4n+4
=C_4n+1+（C_4n+1+S_4n+1）+（-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2）+（-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2+S_4n+3）
=-S_4n+1+2S_4n+2+S_4n+3
=-（2⁴ⁿ⁺¹-1）+2（2⁴ⁿ⁺²-1）+2⁴ⁿ⁺³-1
=-2+14•2⁴ⁿ，
∴所求值為d₀+d₁+d₂+…+d₉
=-20+14（2⁰+2⁴+2⁸+…+2³⁶）
=-20+14•$\frac{1-{2}^{40}}{1-{2}^{4}}$
=-20+$\frac{14}{15}$•（2⁴⁰-1）．

點評 本題考查等差數(shù)列的概念，前n項和公式，導數(shù)的幾何意義等知識；考查學生的運算求解能力、推理論證能力，注意解題方法的積累，屬于難題．