Question

9．設[x]表示不超過x的最大整數(shù)（如[2]=2，[$\frac{5}{4}$]=1），對于給定的n∈N^*，定義${C}_{n}^{x}$=$\frac{n（n-1）…（n-[x]+1）}{x（x-1）…（x-[x]+1）}$，x∈[1，+∞），當x∈[3，4）時，函數(shù)${C}_{8}^{x}$的值域為（14，56]．

Answer 1

分析 x∈[3，4）時，[x]=3，根據(jù)定義化簡C^x_n，求出C^x₈的表達式，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出C^x₈的值域．

解答 解：當x∈[3，4）時，[x]=3，∴C^x_n=$\frac{n（n-1）（n-2）}{x（x-1）（x-2）}$，
C^x₈=$\frac{8×7×6}{x（x-1）（x-2）}$=$\frac{336}{x（x-1）（x-2）}$；
又∵當x∈[3，4）時，f（x）=x（x-1）（x-2）=x³-3x²+2x，
∴f′（x）=3x²-6x+2＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
∴f（x）＜f（4）=24，且f（x）≥f（3）=6；
∴f（x）∈[6，24），
∴$\frac{336}{x（x-1）（x-2）}$∈（14，56]，
即C^x₈∈（14，56]．

點評 本題考查了新定義的函數(shù)的應用問題，也考查了求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，解題時應靈活運用基礎知識，以便解答問題．