Question

8．已知正實數(shù)a，b滿足：a+b=2，記$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值m．設函數(shù)$f（x）=|x-t|+|x+\frac{1}{t}|（t≠0）$，若存在實數(shù)x，使得f（x）=m，則x的取值范圍為（　�。�

• A． [-1，1]
• B． [-2，2]
• C． [-1，0]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 由條件利用基本不等式求得m=2，利用絕對值三角不等式求得f（x）≥|t+$\frac{1}{t}$|=|t|+|$\frac{1}{t}$|，再利用基本不等式求得f（x）≥2，當且僅當t=±1等號時成立，此時-1≤x≤1，從而得出結論．

解答 解：由正實數(shù)a，b滿足a+b=2，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{a+b}{2a}$+$\frac{a+b}{2b}$=1+$\frac{2a}$+$\frac{a}{2b}$≥1+2$\sqrt{\frac{1}{4}}$=2，
當且僅當$\frac{2a}$=$\frac{a}{2b}$，即a=b=1時，取等號，故$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值m=2．
由題意可得函數(shù)$f（x）=|x-t|+|x+\frac{1}{t}|（t≠0）$，存在實數(shù)x，使得f（x）=m=2，
由于f（x）=|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|≥|（x-t）-（x+$\frac{1}{t}$）|=|t+$\frac{1}{t}$|=|t|+|$\frac{1}{t}$|≥2，
當且僅當t=±1等號時成立，此時-1≤x≤1，
∴存在x∈[-1，1]，使f（x）=m成立，
故選：A．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式、基本不等式的應用，屬于基礎題．