Question

4．已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且sin（2C-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求角C的大小；
（2）求$\frac{a+b}{c}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由sin（2C-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，利用誘導(dǎo)公式可得cos2C=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合△ABC為銳角三角形，即可求得角C的大�。�
（2）由正弦定理可得$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$2sin（A+\frac{π}{6}）$，由C=$\frac{π}{3}$，且三角形是銳角三角形可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由sin（2C-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，得cos2C=-$\frac{1}{2}$，
又∵△ABC為銳角三角形，
∴2C=$\frac{2π}{3}$，即C=$\frac{π}{3}$；
（2）$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{{sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）}}{{sin\frac{π}{3}}}$
=$\frac{{\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$=$2sin（A+\frac{π}{6}）$，
由C=$\frac{π}{3}$，且三角形是銳角三角形可得$\left\{\begin{array}{l}A＜\frac{π}{2}\\ B＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$，即$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$sin（A+\frac{π}{6}）$≤1，
∴2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{a+b}{c}$≤2，即$\sqrt{3}$＜$\frac{a+b}{c}$≤2．

點評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基本知識的考查．