Question

9．已知動點A（2，0），B（4，0），動點P在拋物線y²=-4x上運動，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$取得最小值時的點P的坐標是（0，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，點P的坐標為（-$\frac{1}{4}$t²，t），從而得到向量$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$關(guān)于t的坐標形式，算出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-2）（-$\frac{1}{4}$t²-4）+t²=$\frac{1}{16}$t⁴+$\frac{5}{2}$t²+8．再根據(jù)平方非負的性質(zhì)加以計算，可得當點P與原點重合時$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最小值為8，求得此時P的坐標．

解答 解：由點P在拋物線y²=-4x上移動，
設(shè)點P的坐標為（-$\frac{1}{4}$t²，t），
∵A（2，0）、B（4，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-2，t），$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-4，t），
根據(jù)向量數(shù)量積的公式，
可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-2）（-$\frac{1}{4}$t²-4）+t²=$\frac{1}{16}$t⁴+$\frac{5}{2}$t²+8，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$≥8，
$\frac{1}{16}$t⁴≥0且t²≥0，當且僅當t=0時即P坐標為（0，0）時，等號成立．
即當點P與原點重合時$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最小值為8．
故答案為：（0，0）．

點評 本題給出定點A、B的坐標與拋物線上的動點P，求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最小值，著重考查了向量數(shù)量積的坐標公式、拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．