Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$（n∈N₊）
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，求它的前n項和S_n及a_n
（2）求數(shù)列{S_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$（n∈N₊）變形可知$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$}是首項為2、公差為1的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n，進(jìn)而利用分組法求和計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$（n∈N₊），
∴$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{2}{{a}_{1}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$}是首項為2、公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{{2}^{n}}{n+1}$，S_n=$\frac{n（2+n+1）}{2}$=$\frac{n（n+3）}{2}$；
（2）解：由（1）可知S_n=$\frac{n（n+3）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n，
∴T_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{6}$•n（n+1）（2n+1）+$\frac{3}{2}$•$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n（n+1）（n+5）}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．