Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且2a_n-S_n=1．
（1）證明{a_n}是等比數(shù)列并求{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=2ⁿ⁺¹a_n，c_n=log₂b₁+log₂b₂+…+log₂b_n，T_n=$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$，求使k$\frac{n•{2}^{n}}{n+1}$≥（2n-9）T_n恒成立的實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出數(shù)列的通項公式結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；
（2）求出T_n的表達(dá)式，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）由2a_n-S_n=1得：s_n=2a_n-1，
當(dāng)n=1時，2a₁-a₁=1∴a₁=1                     …（2分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1   即：a_n=2a_n-1
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，公比為q=2的等比數(shù)列；∴a_n=2^n-1…（4分）
解：（2）b_n=2ⁿ⁺¹a_n=4ⁿ，c_n=log₂b₁+log₂b₂+…+log₂b_n=2+4+…+2（n-1）+2n=n（n+1）…（6分）
∴T_n=$\frac{1}{c1}$+$\frac{1}{c2}$+…+$\frac{1}{cn}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$              …（8分）
由k$\frac{n?2n}{n+1}$≥（2n-9）T_n對任意n∈N₊恒成立，得k≥$\frac{2n-9}{2n}$恒成立
設(shè)f（n）=$\frac{2n-9}{2n}$，則f（n+1）-f（n）=$\frac{11-2n}{2n+1}$               …（10分）
易得n≥6（n∈N₊）時，f（n）遞減；1≤n≤5（n∈N₊）時，f（n）遞增，
又f（5）=$\frac{1}{32}$＜f（6）=$\frac{3}{64}$
∴f（n）的最大值是f（6）=$\frac{3}{64}$，
∴k≥$\frac{3}{64}$為所求．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查等比數(shù)列的判斷以及數(shù)列與不等式的綜，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．