Question

7．y=x²+$\frac{1}{x^2+2}$+1的值域?yàn)閇$\frac{3}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 可令x²+2=t，t≥2，從而得到y(tǒng)=$t+\frac{1}{t}-1$，對所得函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷它在[2，+∞）單調(diào)遞增，從而根據(jù)單調(diào)性求出原函數(shù)的值域．

解答 解：令x²+2=t，t≥2，則：
$y=t+\frac{1}{t}-1$，$y′=1-\frac{1}{{t}^{2}}=\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$；
∵t≥2，∴t²-1＞0；
∴y′＞0；
∴函數(shù)y=$t+\frac{1}{t}-2$在t≥2上單調(diào)遞增，設(shè)y=f（t），則：
f（t）≥f（2）=$\frac{3}{2}$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{3}{2}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{3}{2}，+∞$）．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念及求法，換元法的運(yùn)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．