Question

20．若復(fù)數(shù)z滿足|z+1|-|z-i|=0，求|z+i|的最小值．

Answer 1

分析 由題意知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn) 到（-1，0）點(diǎn)的距離與到（0，1）的距離相等，即復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在（-1，0）與（0，-1）兩點(diǎn)的連線的中垂線上，寫出直線的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最小得到所求．

解答 解：∵復(fù)數(shù)z滿足|z+1|-|z-i|=0，
∴復(fù)數(shù)z到（-1，0）點(diǎn)的距離與到（0，1）的距離相等，
∴復(fù)數(shù)z在（-1，0）與（0，1）兩點(diǎn)的連線的中垂線上，
∴復(fù)數(shù)z在過這兩點(diǎn)的直線上，直線的斜率是-1，過點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
∴直線的方程是x+y=0
∵|z+i|表示z到（0，-1）的距離，最小值為這個點(diǎn)到直線x+y=0的距離$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義，考查轉(zhuǎn)化計(jì)算能．