Question

10．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，1≤x≤2}\\{x-1，2＜x≤3}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，設g（x）的最大值與最小值之差max-min=h（a），求h（a）的表達式．

Answer 1

分析 由已知可求出g（x）的解析式，分類討論出函數(shù)在各段上的單調性，進而求出函數(shù)的最值的表達式，進而可得h（a）的表達式．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，1≤x≤2}\\{x-1，2＜x≤3}\end{array}\right.$，
∴g（x）=f（x）-ax=$\left\{\begin{array}{l}1-ax，1≤x≤2\\（1-a）x-1，2＜x≤3\end{array}\right.$，
當1≤x≤2時，g（x）_max=1-a，g（x）_min=1-2a（2分）
當2≤x≤3時，
若0≤a≤1，則g（x）在[2，3]上遞增，
g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a（4分）
若a＞1時，則g（x）在[2，3]上遞減，
g（x）_max=1-2a，g（x）_min=2-3a（6分）
∴當0≤a≤$\frac{1}{2}$時，g（x）max=2-3a，g（x）min=1-2a
當$\frac{1}{2}$≤a≤1時，g（x）max=1-a，g（x）min=1-2a
當a≥1時，g（x）_max=1-a，g（x）_min=2-3a（9分）
∴h（a）=$\left\{\begin{array}{l}1-a，0≤a≤\frac{1}{2}\\ a，\frac{1}{2}＜a＜1\\ 2a-1，a≥1\end{array}\right.$ （12分）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，其中分段函數(shù)分段處理是解答此類問題的常用方法．