Question

11．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，點P，Q，R分別是線段B₁B，AB和A₁C上的動點，觀察直線CP與D₁Q，CP與D₁R給出下列結論：
①對于任意給定的點Q，存在點P，使得CP⊥D₁Q；
②對于任意給定的點P，存在點Q，使得D₁Q⊥CP；
③對于任意給定的點R，存在點P，使得CP⊥D₁R；
④對于任意給定的點P，存在點R，使得D₁R⊥CP．
其中正確的結論是（　�。�

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關系，結合正方體的性質，分別分析選項，利用排除法能得出結論．

解答 解：①只有D₁Q⊥平面BCC₁B₁，即D₁Q⊥平面ADD₁A₁時，
才能滿足對于任意給定的點P，存在點Q，使得D₁Q⊥CP，
∵過D₁點于平面DD₁A₁A垂直的直線只有一條D₁C₁，
而D₁C₁∥AB，
∴①錯誤；
②當點P與B₁重合時，
CP⊥AB，且CP⊥AD1，
∴CP⊥平面ABD₁，
∵對于任意給定的點Q，都有D₁Q?平面ABD₁，
∴對于任意給定的點Q，存在點P，使得CP⊥D₁Q，
∴②正確；
③只有CP垂直D₁R在平面BCC₁B₁中的射影時，D₁R⊥CP，
∴③正確；
④只有CP⊥平面A₁CD₁時，④才正確，
∵過C點的平面A₁CD₁的垂線與BB₁無交點，
∴④錯誤．
故選：B

點評 本題考查直線與直線、直線與平面的位置關系的判斷，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．