Question

2．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1；
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若存在區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6個(gè)零點(diǎn)，在滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）令f（x）=0，求出 x的值，可得相鄰的零點(diǎn)之間的間隔依次為$\frac{π}{3}$、$\frac{2π}{3}$．f（x）在[a，b]上至少含有6個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于b-a的最小值為2×$\frac{2π}{3}$+3×$\frac{π}{3}$．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z．
（2）令f（x）=0，求出 sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，∴x=kπ-$\frac{π}{4}$，或x=kπ-$\frac{7π}{12}$，
故相鄰的零點(diǎn)之間的間隔依次為$\frac{π}{3}$、$\frac{2π}{3}$．
y=f（x）在[a，b]上至少含有6個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于b-a的最小值為 2×$\frac{2π}{3}$+3×$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．