Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{m{x}^{2}+2}{3x+n}$是奇函數(shù)，且f（2）=$\frac{5}{3}$，
（1）求實(shí)數(shù)m和n的值；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，-1]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的關(guān)系建立方程即可求實(shí)數(shù)m和n的值；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，-1]上的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{m{x}^{2}+2}{3x+n}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{m{x}^{2}+2}{-3x+n}$=-$\frac{m{x}^{2}+2}{3x+n}$，
即-3x+n=-3x-n，
得n=-n，解得n=0，
此時(shí)f（x）=$\frac{m{x}^{2}+2}{3x}$，
∵f（2）=$\frac{5}{3}$，
∴f（2）=$\frac{4m+2}{6}$=$\frac{5}{3}$，
即m=2．
綜上知，m=2，n=0．
（2）∵m=2，n=0．
∴f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{3x}$=$\frac{2x}{3}$+$\frac{2}{3x}$，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-2}{3{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得2x²-2＞0，即x²＞1，解得x＞1或x＜-1，此時(shí)函數(shù)遞增．
由f′（x）＜0得-1＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
即當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得最大值，為f（-2）=-$\frac{5}{3}$，
f（-1）=-$\frac{4}{3}$，
∴最小值為-$\frac{4}{3}$，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，-1]上的最大值為-$\frac{5}{3}$，最小值為-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．