Question

4．設(shè)C是∠AOB所在平面外的一點，若∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，其中θ是銳角，而OC與平面AOB所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則θ的值為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 75°

Answer 1

分析 畫出圖形，在邊OC上取點D，作DE⊥平面AOB，根據(jù)條件便知垂足E在∠AOB的平分線上，然后再過E作EF⊥OB，并連接DF，可設(shè)OD=x，這樣根據(jù)所給的∠COB=θ，OC與平面AOB所成的角即可得到$\frac{\sqrt{3}}{3}xcos\frac{θ}{2}=x•cosθ$，進一步得到$\frac{\sqrt{3}}{3}cos\frac{θ}{2}=2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1$，這樣解出cos$\frac{θ}{2}$，從而得到$\frac{θ}{2}$，進而得出θ值．

解答 解：如圖，
在邊OC上取一點D，過D作DE⊥平面AOB，根據(jù)已知條件，垂足E在∠AOB的角平分線上，過E作EF⊥OB，垂足為F，連接DF，則：
∵DE⊥平面AOB，OB?平面AOB；
∴DE⊥OB，即OB⊥DE；
又OB⊥EF，DE∩EF=E；
∴OB⊥平面DEF；
∴OB⊥DF，設(shè)OD=x，則：OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$；
∴$OF=\frac{\sqrt{3}}{3}x•cos\frac{θ}{2}=x•cosθ$；
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}cos\frac{θ}{2}=cosθ$；
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}cos\frac{θ}{2}=2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1$；
解得$cos\frac{θ}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$-\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵θ為銳角，∴$\frac{θ}{2}$為銳角；
∴$cos\frac{θ}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{θ}{2}=30°$；
∴θ=60°．
故選：C．

點評 考查線直線與平面所成角的概念，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，以及直角三角形的邊角關(guān)系，二倍角的余弦公式．