Question

19．若實數(shù)x，y滿足x²+y²=4，則$\frac{xy}{x+y+4}$的取值范圍是$[2\sqrt{3}\;-4，\;\;1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．

Answer 1

分析 實數(shù)x，y滿足x²+y²=4，可設(shè)x=2cosθ，y=2sinθ，θ∈[0，2π）．則$\frac{xy}{x+y+4}$=$\frac{2sinθcosθ}{sinθ+cosθ+2}$，令cosθ+sinθ=t=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．可得2sinθcosθ=t²-1，$\frac{xy}{x+y+4}$=t-2+$\frac{3}{t+2}$=f（t）．t∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：∵實數(shù)x，y滿足x²+y²=4，
∴可設(shè)x=2cosθ，y=2sinθ，θ∈[0，2π）．
∴$\frac{xy}{x+y+4}$=$\frac{4sinθcosθ}{2sinθ+2cosθ+4}$=$\frac{2sinθcosθ}{sinθ+cosθ+2}$，
令cosθ+sinθ=t=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
∴1+2sinθcosθ=t²，∴2sinθcosθ=t²-1，
∴$\frac{xy}{x+y+4}$=$\frac{{t}^{2}-1}{t+2}$=t-2+$\frac{3}{t+2}$=f（t）．t∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
f′（t）=1-$\frac{3}{（t+2）^{2}}$=$\frac{（t+2+\sqrt{3}）（t+2-\sqrt{3}）}{（t+2）^{2}}$，
當(dāng)$t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{3}-2）$時，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t∈$（\sqrt{3}-2，\sqrt{2}]$時，f′（t）＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)t=$\sqrt{3}-2$時，函數(shù)f（t）取得最小值，$f（\sqrt{3}-2）$=$2\sqrt{3}$-4．
又$f（-\sqrt{2}）$=$\frac{2-1}{-\sqrt{2}+2}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$f（\sqrt{2}）$=$\frac{2-1}{\sqrt{2}+2}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$f（-\sqrt{2}）$＞$f（\sqrt{2}）$，
∴f（t）的最大值為：$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$．
綜上可得：$\frac{xy}{x+y+4}$的取值范圍是$[2\sqrt{3}-4，1+\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．