Question

15．解不等式 $\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}+1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+2}+1}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+3}+1}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$＞1．

Answer 1

分析 把不等式化為$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}+\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$+$\frac{3}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$＜2；
利用放縮法，得出該不等式對于x∈R恒成立，從而求出原不等式的解集．

解答 解：不等式可化為（1-$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}$）+（1-$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$）+（1-$\frac{3}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$）＞1，
即$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}+\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$+$\frac{3}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$＜2；

又$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}$＜$\frac{1}{2}$，
$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$＜$\frac{2}{3}$，
$\frac{3}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$＜$\frac{3}{4}$；
∴$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}$+$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$+$\frac{3}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{23}{12}$＜2；
上述不等式對于x∈R時都成立．
所以，原不等式的解集為R．

點評 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也利用放縮法證明不等式恒成立的問題，是綜合性題目．