Question

18．己知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正數(shù)，a₁=3，a₂+a₃=18．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{6}$處取得最大值，且最大值為a₃，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公比為q，（q＞0），運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得q=2，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，2x+φ=$\frac{π}{2}$，取得最大值A(chǔ)，再由通項(xiàng)公式即可得到A，進(jìn)而得到f（x）的解析式．

解答 解：（1）設(shè)公比為q，（q＞0），
由a₁=3，a₂+a₃=18，
可得3q+3q²-18=0，
解得q=2（-3舍去），
即有a_n=a₁q^n-1=3•2^n-1；
（2）函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），
當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，2x+φ=$\frac{π}{2}$，
即有φ=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，f（x）取得最大值A(chǔ)，
由題意可得A=a₃=12，
則有f（x）=12sin（2x+$\frac{π}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．