Question

8．某節(jié)假日期間，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定到黃山、華山兩個(gè)風(fēng)景區(qū)中的一個(gè)去旅游，四人約定通過拋擲硬幣的方式?jīng)Q定自己去黃山還是華山，每人每次拋擲2枚硬幣，如果2枚硬幣都是正面向上則去黃山，否則去華山．記去黃山的人數(shù)為X，華山的人數(shù)為Y．
（I）求這四人中去黃山的人數(shù)大于去華山的人數(shù)的概率；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量Z=|X-Y|的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知求出每個(gè)人去黃山的概率和去華山的概率，從而得到記去黃山的人數(shù)X～B（4，$\frac{1}{4}$），由此能求出這四人中去黃山的人數(shù)大于去華山的人數(shù)的概率．
（Ⅱ）由已知得X的取值可能為0，1，2，3，4，對(duì)應(yīng)的Z的取值分別為4，2，0，2，4，即隨機(jī)變量Z的可能取值為0，2，4，P（Z=0）=P（X=2），P（Z=2）=P（X=1）+P（X=3），P（Z=4）=P（X=0）+P（X=4），由此能求出隨機(jī)變量Z=|X-Y|的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意知每個(gè)人去黃山的概率p=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，去華山的概率q=1-p=$\frac{3}{4}$，
記去黃山的人數(shù)為X，則X～B（4，$\frac{1}{4}$），
∴這四人中去黃山的人數(shù)大于去華山的人數(shù)的概率：
P=P（X=3）+P（X=4）
=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）+{C}_{4}^{4}（\frac{1}{4}）^{4}$
=$\frac{13}{256}$．
（Ⅱ）由已知得X的取值可能為0，1，2，3，4，對(duì)應(yīng)的Z的取值分別為4，2，0，2，4，
即隨機(jī)變量Z的可能取值為0，2，4，
P（Z=0）=P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{54}{256}$，
P（Z=2）=P（X=1）+P（X=3）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{3}$+${C}_{4}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）$=$\frac{120}{256}$，
P（Z=4）=P（X=0）+P（X=4）=${C}_{4}^{0}（\frac{3}{4}）^{4}+{C}_{4}^{4}（\frac{1}{4}）^{4}$=$\frac{82}{256}$，
∴隨機(jī)變量Z=|X-Y|的數(shù)學(xué)期望：
EZ=$0×\frac{54}{256}+2×\frac{120}{256}+4×\frac{82}{256}$=$\frac{71}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．