Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求以點(diǎn)P（-2，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 設(shè)以點(diǎn)P（-2，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，則$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$，兩式相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{8}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，代入化簡(jiǎn)即可得出．當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)P的直線的斜率不存在時(shí)不滿足題意．

解答 解：設(shè)以點(diǎn)P（-2，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$，
兩式相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{8}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，
∴$\frac{-4}{8}+\frac{2k}{4}=0$，
解得k=1．
∴以點(diǎn)P（-2，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為y-1=x+2，即為x-y+3=0．
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)P的直線的斜率不存在時(shí)不滿足題意．
綜上可得：以點(diǎn)P（-2，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為x-y+3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．