Question

9．（1）若x，y都是正實數(shù)，且x+y＞2，求證：$\frac{1+x}{y}$＜2和$\frac{1+y}{x}$＜2中至少有一個成立．
（2）已知a、b、c∈R⁺，求證：$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{3}}$≥$\frac{a+b+c}{3}$．

Answer 1

分析 （1）本題證明結(jié)論中結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，而其否定結(jié)構(gòu)簡單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來證明結(jié)論成立．
（2）利用分析法證明即可．

解答 證明：（1）假設(shè)$\frac{1+x}{y}$＜2和$\frac{1+y}{x}$＜2都不成立，即$\frac{1+x}{y}$≥2和$\frac{1+y}{x}$≥2同時成立．…（2分）
∵x＞0且y＞0，∴1+x≥2y，且1+y≥2x．…（4分）
兩式相加得2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2．這與已知條件x+y＞2矛盾，
∴$\frac{1+x}{y}$＜2和$\frac{1+y}{x}$＜2中至少有一個成立．  …（6分）
（2）要證$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{3}}$≥$\frac{a+b+c}{3}$，
只需證：3（a²+b²+c²）≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca，…（9分）
只需證：2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca，…（10分）
只需證：（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，而這是顯然成立的，
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{3}}$≥$\frac{a+b+c}{3}$成立  …（12分）

點評 本題考查分析法、反證法證明命題，在作證明題時，對于一些條件相對較少或者證明時需要分類討論的題型，最好試試用反證法能否證明問題．