Question

18．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，由奇函數(shù)可得此時(shí)解析式，又可得f（0）=0，綜合可得；
（2）由分段函數(shù)解析式可得圖象，可得單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（$\frac{1}{2}$）^-x=-2^x．
∴函數(shù)的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$
（2）函數(shù)圖象如圖所示：
通過(guò)函數(shù)的圖象可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）和（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求解，涉及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．